半開閉区間

参照

コンピュータで区間処理するときは半開閉区間で持つことが多い気がしている。もはや信仰のレベルで身についているので自分一人で決めて終わりなときはそれで良いのだが、説明が必要なときに困る。そのときのために良さげな参照を集めておく。

• “Always use [closed, open) intervals”
  • https://fhur.me/posts/always-use-closed-open-intervals
  • 半開閉区間の説明と閉区間のつらみ、半開閉区間のよさを語っている
• “Google Cloud API設計ガイド”
  • https://cloud.google.com/apis/design/design_patterns?hl=ja#representing_ranges
  • 半開閉区間を使う必要があるとしている。C++とJavaがそうしてるぞと強調してるが理由は特に触れてない。
• “時間の歩き方”
  • https://blog.osa.in.net/time-tips/
  • 半開閉区間というか、時間（時刻の区間としている）の持ち方の話。日付の区間なら閉区間もありと主張してる。

余談

何というか区間は連続な集合の２端点を指定して定まる部分集合であって、その全体からなる集合族を扱おうと思うと半開閉区間にしておくと綺麗というのも関係する？

区間は全順序集合の部分集合で、それらを体系的に考えようと思うと区間の集合の性質を考えるのが良いはず。つまり区間からなる族を考えると良さそう。

考える全順序集合が連続な集合なら、半開閉区間からなる族を考えると、任意の区間は有限個の区間の非交和として表現できる半開では無い区間の族ではこの性質は成り立たなさそう。漏れとダブりがないように区間を分割する必要は実用的に割とあってそれをきれいにできるのは半開閉区間だけということになる。

ググってみると集合半環という概念があるみたいで、それにこの性質が効いてるぽい。集合半環 (wikipedia)をみると良さそう。

むずい。

ChatGPTに整理してもらった

https://chatgpt.com/share/4c778bf6-f43a-4230-825d-398ad025a457

結構良い回答をもらえた。

プログラミングで区間を表現するのに半開閉区間を用いると良い理由を説明してください

プログラミングで区間を表現する際に半開閉区間（半開区間、片開区間とも言う）を用いると良い理由は、特に次のような点にあります：

1. 直感的なインデックス操作:

   • 配列やリストなどのデータ構造において、インデックスは通常0から始まります。半開閉区間 [start, end) を使うと、start から end-1 までのインデックスが含まれるため、範囲を扱う際に計算がシンプルになります。例えば、要素数が10の配列に対して [0, 10) という範囲を指定すると、全ての要素を含むことになります。

2. 区間の連結が容易:

   • 半開閉区間は連結する際に便利です。例えば、 [start1, end1) と [start2, end2) という2つの区間を連結する場合、end1 と start2 が同じであれば、それらを連結して [start1, end2) とすることができます。このように、区間の端点が明確に分かれているため、エッジケースが少なくなります。

3. 境界の一貫性:

   • 境界条件を処理する際、開区間の端点は含まれないため、範囲外アクセスのリスクが減少します。これにより、特にループ処理や再帰的なアルゴリズムの実装が一貫しやすくなります。

4. 数学的な整合性:

   • 半開閉区間の表現は、数学的にも広く使われており、理論的な背景からも自然な表現です。例えば、集合の分割や区間の分割などで、一貫した扱いが可能です。

5. プログラミング言語のサポート:

   • 多くのプログラミング言語やライブラリが、半開閉区間をデフォルトでサポートしています。例えば、Pythonのリストスライスや、C++の標準ライブラリの範囲は、半開閉区間の形式を採用しています。このため、言語やライブラリの機能を活用する上で半開閉区間を使うのが自然です。

以上の理由から、プログラミングにおいて区間を表現する際には半開閉区間を用いることが一般的であり、推奨されます。

数学的な生合成で一貫した扱いとありますが、専門的にはどのような性質が成り立つのでしょうか？

数学的な観点から見て、半開閉区間（例えば ([a, b))）を使用することにはいくつかの重要な性質があります。これらの性質により、一貫した扱いや直感的な操作が可能となります。以下にいくつかの重要な性質を挙げます：

1. 区間の連結性:

   • 2つの半開閉区間 ([a, b)) と ([b, c)) を連結すると、新しい半開閉区間 ([a, c)) を得ます。これにより、連続する区間を簡単に扱うことができます。
   • 例： ([1, 3)) と ([3, 5)) の連結は ([1, 5)) となります。

2. 区間の分割性:

   • 半開閉区間 ([a, c)) を点 (b) で分割すると、2つの区間 ([a, b)) と ([b, c)) になります。このように、区間を分割する際の扱いがシンプルです。
   • 例： ([2, 7)) を (5) で分割すると ([2, 5)) と ([5, 7)) になります。

3. 一意性と包含関係:

   • 各点は1つの半開閉区間に一意的に属します。具体的には、点 (x) が区間 ([a, b)) に属するのは (a \leq x < b) の場合のみです。このため、区間の包含関係を判断するのが容易です。
   • 例： (x = 3) は ([1, 5)) に含まれますが、([3, 7)) にも含まれます。

4. 空集合の扱い:

   • 半開閉区間において、区間 ([a, a)) は空集合となります。これにより、区間のサイズが負になることを避け、理論的な一貫性を保ちます。
   • 例： ([4, 4)) は空集合として扱います。

5. 順序性と計算の簡便性:

   • 半開閉区間は順序を持っているため、数直線上の位置関係を直感的に理解できます。これにより、範囲の計算や比較が簡単になります。
   • 例： ([2, 5)) と ([5, 8)) の関係は明確に非重複であると分かります。

6. 測度論との整合性:

   • 測度論（特にルベーグ測度）においても、半開閉区間は重要です。半開閉区間は測度が容易であり、特に区間の長さが (b - a) で計算できるため、実際の応用において便利です。

これらの性質により、半開閉区間は数学的に一貫した扱いが可能となり、プログラミングにおいても同様の利便性が得られます。このため、アルゴリズムやデータ構造の設計において半開閉区間を使用することが推奨されます。

好きな区間発表ドラゴン

好き好き大好き〜